Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x^{3} + y^{3}} = 2 y$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3} + y^{3}}$ ở dạng ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{3} + y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.6.2.2

Di chuyển ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Bước 3.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Bước 3.6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.8

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$ .

$(3 x^{2} + 3 y^{2} y') \frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.2

Nhân $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ với $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y'$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 2 y'$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân cả hai vế với $2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn $\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (x^{2} + y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} + 3 (y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.5.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 y' y^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.5.2

Sắp xếp lại $3 x^{2}$ và $3 y' y^{2}$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn $2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 \cdot 2 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 6.3.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Bước 6.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y' y^{2}$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Bước 6.3.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Bước 6.3.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Bước 6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.4.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$