Giải tích Ví dụ

$x \tan^{2} (x)$

Bước 1

Viết $x \tan^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x \tan^{2} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \tan^{2} (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \tan^{2} (x)$ .

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

Bước 8

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Bước 9.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Bước 9.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Bước 9.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 9.4.2

Nhân $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 9.4.2.2

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$