Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 2

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Bước 2.3

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Bước 2.5

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $1$ và tại $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Bước 5.2

Tính $3 x$ tại $4$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.4

Nhân $- 27$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.5

Kết hợp $27$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.6.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.7

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.8

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.10.2

Cộng $1$ và $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.11

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Bước 5.3.12

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Bước 5.3.13

Cộng $12$ và $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Bước 5.3.14

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.3.15

Kết hợp $12$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Bước 5.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Bước 5.3.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.17.1

Nhân $12$ với $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Bước 5.3.17.2

Cộng $28$ và $36$ .

$\frac{64}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{64}{3}$

Dạng thập phân:

$21.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$21 \frac{1}{3}$

Bước 7