Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 13

Kết hợp $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 15

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 16

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 17

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 18

Nhân $\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 19

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Bước 19.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Bước 19.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Bước 19.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Bước 20

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{2 x}$

Bước 21

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x}$

Bước 22

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Bước 23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Bước 24

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{2 x}$

Bước 24.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{2 x}$

Bước 25

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{2 x}$

Bước 26

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{2 x}$

Bước 27

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 28

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2}$ và $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Bước 29

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Bước 29.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 30

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 31

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Bước 31.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 31.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 32

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 33

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1.1

Đưa $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 33.1.1.2

Đưa $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $- \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 33.1.1.3

Đưa $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ ra ngoài $e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 33.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 33.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 33.2

Kết hợp $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 33.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 33.4

Kết hợp.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Bước 33.5

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.5.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.5.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.6

Nhân $e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ với $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 33.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$