Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.2.5.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.3

Vì $\frac{1}{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Bước 1.4.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

Bước 1.4.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Bước 1.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Bước 1.4.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{3} + 0 + x^{2}$

Bước 1.5

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$