Giải tích Ví dụ

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Bước 4.2

Nhân $5^{t}$ với $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $5^{t}$ và $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ và $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $5^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.5.2

Chia $\ln (5)$ cho $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Bước 5.2.6

Kết hợp $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ và $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $5^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Bước 5.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$