Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 3

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 4.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{0 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$e^{\frac{0 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 10

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 10.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + x}{2 + x})}$

Bước 11

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Bước 12

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Bước 12.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Bước 12.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + 1})}$

Bước 12.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Bước 12.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Bước 13

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Bước 14

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Bước 14.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Bước 14.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Bước 15

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1})}$

Bước 16

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0^{2}}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$e^{\frac{0 - 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{\frac{0 + 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.1.4

Cộng $0$ và $0$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$e^{\frac{0}{- 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.3

Chia $0$ cho $- 1$ .

$e^{0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Bước 16.2.4

Rút gọn $0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})$ bằng cách di chuyển $0$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0})}$

Bước 16.2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Bước 16.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

${(\frac{1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Bước 16.2.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.7.1

Nhân $2$ với $0$ .

${(\frac{1}{0 + 1})}^{0}$

Bước 16.2.7.2

Cộng $0$ và $1$ .

${(\frac{1}{1})}^{0}$

Bước 16.2.8

Chia $1$ cho $1$ .

$1^{0}$

Bước 16.2.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$