Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Bước 4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Bước 6

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 8

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$