Giải tích Ví dụ

$(x + 3) e^{- 2 x}$

Bước 1

Viết $(x + 3) e^{- 2 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int (x + 3) e^{- 2 x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x + 3$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Bước 5

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Bước 6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Bước 7

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 8.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Bước 12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ ở dạng $- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ và $x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Bước 13.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Bước 15

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$