Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Bước 3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 4 - 3 x$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 4 - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 4.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Bước 4.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 - 3$

Bước 4.1.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Bước 5.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.1.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 9.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 9.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 9.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $- 2 (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Bước 11.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - 3 x$ .

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$