Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = t + 1$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = t + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = t + 1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = t + 1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

Bước 1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Khai triển $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.8

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3.10

Cộng $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ và $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

Bước 3.11

Cộng $2 u^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Bước 6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $x^{2} + 2$ và tại $2$ .

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{3}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.1.4

Cộng $2$ và $3$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Bước 7.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Bước 7.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Bước 9.2

Nhân $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Bước 9.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Bước 9.2.3

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Bước 9.3

Nhân $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $2^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Bước 9.3.2

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Bước 9.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

Bước 9.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

Bước 9.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

Bước 9.3.2.4

Cộng $2$ và $5$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$