Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ sang $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Bước 4

Giả sử $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - \frac{π}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- \frac{π}{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{π}{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Bước 5

Kết hợp $\csc^{2} (u)$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$