Giải tích Ví dụ

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 9 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 9 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 2.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 9 - 2 x$ .

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 2$ với $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Bước 2.3.2

Cộng $9$ và $16$ .

$u_{lower} = 25$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 9 - 2 x$ .

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 2$ với $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Bước 2.5.2

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.4

Chia $- 7$ cho $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 7.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $u^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 7.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 7.2.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Bước 7.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Bước 7.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ tại $1$ và tại $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Bước 9.2.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 9.2.5

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Bước 9.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Bước 9.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Bước 9.2.7

Tính số mũ.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Bước 9.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Bước 9.2.9

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Bước 9.2.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Bước 9.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Bước 9.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.12.1

Nhân $- 2$ với $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Bước 9.2.12.2

Cộng $- 10$ và $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Bước 9.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Bước 9.2.14

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Bước 9.2.15

Kết hợp $7$ và $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Bước 9.2.16

Nhân $7$ với $8$ .

$\frac{56}{5}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{56}{5}$

Dạng thập phân:

$11.2$

Dạng hỗn số:

$11 \frac{1}{5}$

Bước 11