Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{4} (y - (y^{2} - 12)) d y$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 3}^{4} y - (y^{2} - 12) d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{4} y d y + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Bước 4

Nhân $- (y^{2} - 12)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} - - 12 d y$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} + 12 d y$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + 12 y]_{- 3}^{4}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4}$ và $12 y]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 12 y]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\frac{1}{2} y^{2} + 12 y$ tại $4$ và tại $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{y^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.3.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.4

Nhân $12$ với $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.5

Cộng $8$ và $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.6

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.8

Nhân $12$ với $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.9

Để viết $- 36$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.10

Kết hợp $- 36$ và $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.12.1

Nhân $- 36$ với $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.12.2

Trừ $72$ khỏi $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.14

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.15

Nhân $\frac{63}{2}$ với $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.16

Để viết $56$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.17

Kết hợp $56$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.19.1

Nhân $56$ với $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.19.2

Cộng $112$ và $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.20

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 11.2.3.21

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Bước 11.2.3.22

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.22.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Bước 11.2.3.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.22.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Bước 11.2.3.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Bước 11.2.3.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Bước 11.2.3.22.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Bước 11.2.3.23

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Bước 11.2.3.24

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 11.2.3.25

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Bước 11.2.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Bước 11.2.3.27

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.27.1

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Bước 11.2.3.27.2

Cộng $64$ và $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Bước 11.2.3.28

Để viết $\frac{175}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Bước 11.2.3.29

Để viết $- \frac{91}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.2.3.30

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.30.1

Nhân $\frac{175}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.2.3.30.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.2.3.30.3

Nhân $\frac{91}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.30.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Bước 11.2.3.31

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Bước 11.2.3.32

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.32.1

Nhân $175$ với $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Bước 11.2.3.32.2

Nhân $- 91$ với $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Bước 11.2.3.32.3

Trừ $182$ khỏi $525$ .

$\frac{343}{6}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{343}{6}$

Dạng thập phân:

$57.1\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$57 \frac{1}{6}$

Bước 13