Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{10} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp $\frac{5}{10}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{4}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5.2.4

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Bước 2.2.3.3

Nhân $2$ với $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Bước 3.2.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Bước 3.2.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Bước 3.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Bước 3.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Bước 3.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 3.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 3.5.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 3.6

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.6.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 0, - 3, 3$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $\frac{1}{10}$ với $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 4.1.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Bước 4.3

Thay $- 3$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.4

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Bước 4.3.2.1.4.2

Cộng $1$ và $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Bước 4.3.2.1.5

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Bước 4.3.2.2

Để viết $81$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Bước 4.3.2.3

Kết hợp $81$ và $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Bước 4.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Bước 4.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Nhân $81$ với $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Bước 4.3.2.5.2

Cộng $- 243$ và $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Bước 4.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 3$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ là $(- 3, \frac{567}{10})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Bước 4.5

Thay $3$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Bước 4.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Bước 4.5.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Bước 4.5.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Bước 4.5.2.1.4

Nhân $- 3$ với $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Bước 4.5.2.2

Để viết $- 81$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Bước 4.5.2.3

Kết hợp $- 81$ và $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Bước 4.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Bước 4.5.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.5.1

Nhân $- 81$ với $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Bước 4.5.2.5.2

Trừ $810$ khỏi $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Bước 4.5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Bước 4.5.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Bước 4.6

Tìm điểm bằng cách thay thế $3$ trong $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ là $(3, - \frac{567}{10})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(3, - \frac{567}{10})$

Bước 4.7

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 3)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 3.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Bước 6.2.1.2

Nhân $2$ với $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 18$ với $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Bước 6.2.2

Cộng $- 59.582$ và $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.782$ .

$- 3.782$

Bước 6.3

Tại $- 3.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 3.782$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 3)$

Giảm trên $(- \infty, - 3)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 3, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{3}{2}$ trong biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{27}{8}$ vào tử số.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Bước 7.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Bước 7.2.1.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Bước 7.2.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Bước 7.2.1.7.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Bước 7.2.1.8

Nhân $- 9$ với $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Bước 7.2.2

Để viết $27$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.3

Kết hợp $27$ và $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Nhân $27$ với $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Bước 7.2.5.2

Cộng $- 27$ và $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Bước 7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Bước 7.3

Tại $- \frac{3}{2}$ , đạo hàm bậc hai là $20.25$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 3, 0)$ .

Tăng trên $(- 3, 0)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 3)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3}{2}$ trong biểu thức.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Bước 8.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Bước 8.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Bước 8.2.1.6

Nhân $- 9$ với $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Bước 8.2.2

Để viết $- 27$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 8.2.3

Kết hợp $- 27$ và $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Bước 8.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Bước 8.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.5.1

Nhân $- 27$ với $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Bước 8.2.5.2

Trừ $108$ khỏi $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Bước 8.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Bước 8.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Bước 8.3

Tại $\frac{3}{2}$ , đạo hàm bậc hai là $- 20.25$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(0, 3)$

Giảm trên $(0, 3)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(3, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.1$ trong biểu thức.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $3.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Bước 9.2.1.2

Nhân $2$ với $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Bước 9.2.1.3

Nhân $- 18$ với $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Bước 9.2.2

Trừ $55.8$ khỏi $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Bước 9.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3.782$ .

$3.782$

Bước 9.3

Tại $3.1$ , đạo hàm bậc hai là $3.782$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(3, \infty)$ .

Tăng trên $(3, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 10

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Bước 11