Giải tích Ví dụ

$y \cdot 2^{y} = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 2^{x}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Bước 5.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Bước 5.2

Đưa $y' \cdot 2^{y}$ ra ngoài $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y' \cdot 2^{y}$ ra ngoài $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $y' \cdot 2^{y}$ ra ngoài $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $y' \cdot 2^{y}$ ra ngoài $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Bước 5.3

Nhân $y$ với $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Bước 5.4

Nhân $y$ với $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ cho $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ cho $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y \ln (2) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$