Giải tích Ví dụ

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4 \sqrt{x + 2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 2}$ ở dạng ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Bước 2.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Bước 2.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Bước 2.14

Nhân $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.15

Di chuyển ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.16

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.18.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$