Giải tích Ví dụ

$x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Bước 1

Viết $x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \sqrt{x} d x$

Bước 9

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$