Giải tích Ví dụ

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x + y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.5

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7

Nhân $\cos (x + y)$ với $1$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

Bước 4.2

Cộng $y^{2} - \cos (x + y)$ và $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y)$