Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{2}{3}})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{2}{3}}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.8

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.9

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x'$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $x'$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Rút gọn $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 x' = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $3 x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ cho $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$