Giải tích Ví dụ

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 1.1.2

Khai triển $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.1.3.1.3

Nhân $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.1.3.1.3.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.1.3.1.3.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Bước 1.1.3.1.3.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Bước 1.1.3.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 1.1.3.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 1.1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 1.1.3.3

Trừ $\cos (x) \sin (x)$ khỏi $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 1.1.4

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 1.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 5

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 5.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 x + C - 2 \int - u d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 x + C + 2 \int u d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Bước 9.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 x + 1 u^{2} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$2 x + u^{2} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 x + \cos^{2} (x) + C$