Giải tích Ví dụ

$y = 3 \sin^{2} (2 x^{3})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin^{2} (2 x^{3}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin^{2} (2 x^{3})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (2 x^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (2 \sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 (\sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $6$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (3 x^{2})$

Bước 3.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Nhân $3$ với $12$ .

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$

Bước 3.5.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$ .

$36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$