Giải tích Ví dụ

$y = (- x^{2} + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - x^{2} + e^{x}$ và $g (x) = 2 \sin (x) + \cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 \sin (x) + \cos (x)] + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 5.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 5.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + e^{x})$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (- 2 x + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$