Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Bước 1

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ với

$\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Bước 2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ với

$\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Bước 2.2

Nâng

$\sqrt{4 + e^{t}}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Bước 2.3

Nâng

$\sqrt{4 + e^{t}}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Bước 2.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Bước 2.6

Viết lại

${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ ở dạng

$4 + e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{4 + e^{t}}$ ở dạng

${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Bước 2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Bước 2.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Bước 2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Bước 2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Bước 2.6.5

Rút gọn.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Bước 3

Lấy đạo hàm của

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ đối với

$x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Bước 4

Đạo hàm của

$\ln (x)$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Bước 5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Bước 6

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Bước 7

Nhân

$\frac{1}{x}$ với

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Bước 8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Di chuyển

$4$ sang phía bên trái của

$x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Bước 8.2.2

Nâng

$x$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Bước 8.2.3

Nâng

$x$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Bước 8.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Bước 8.2.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Bước 8.4

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{2} + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Bước 8.4.2

Đưa

$x$ ra ngoài

$4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Bước 8.4.3

Đưa

$x$ ra ngoài

$x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$