Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.10

Kết hợp $11$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Bước 3

Vì $\frac{2}{11}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{2}{11}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$