Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 6 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 6 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $6 \cos (t)$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $36$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $36$ ra ngoài $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $36$ ra ngoài $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $36 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $6 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Bước 3

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Bước 4

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $- \cos (t)$ tại $\frac{π}{6}$ và tại $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Bước 5.3.4

Nhân $6$ với $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Dạng thập phân:

$0.80384757 \dots$