Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 10.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 11

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Bước 12

Giả sử $u_{2} = x - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{2} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 12.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 12.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 12.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{3}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 14

Rút gọn.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$