Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{4} x^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 5}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{20}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{20} x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{6}{20}$ và $x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $20$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4.4

Kết hợp $\frac{- 3}{4}$ và $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4.5

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Bước 1.5.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3}{2} x^{2}$

Bước 1.5.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Bước 1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{3}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{5}}{10}$ đối với $x$ là $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{15}{10}$ và $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{5}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5 x^{4}}{4}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{5}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.5

Nhân $- 4$ với $5$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.6

Kết hợp $\frac{- 20}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 20 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.7.2.4

Chia $- 5 x^{3}$ cho $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.5

Kết hợp $\frac{6}{2}$ và $x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4.6.2.4

Chia $3 x$ cho $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- \frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{4 x^{4}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 2.5.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 2.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 2.5.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Bước 2.5.8

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Bước 2.5.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Bước 2.5.10

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Bước 2.5.11

Kết hợp $\frac{12}{4}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Bước 2.5.12

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4 x^{5}}$

Bước 2.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Bước 2.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Bước 2.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Bước 2.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\frac{12}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.2.6.2.4

Chia $6 x^{3}$ cho $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $- 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.4.3

Nhân $3$ với $1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x^{5}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 3.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 3.5.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 3.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 3.5.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 6})$

Bước 3.5.8

Nhân $- 5$ với $3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 x^{- 6}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 \frac{1}{x^{6}}$

Bước 3.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{- 15}{x^{6}}$

Bước 3.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - \frac{15}{x^{6}}$

Bước 3.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$