Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Bước 3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Bước 3.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{- 2}{4}$ và $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Bước 3.12

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Bước 3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Bước 3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Bước 3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Bước 3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$