Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\sin (\frac{1}{θ})$ và $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ và $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Sau đó $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , nên $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sin (θ)$ và $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{θ}$ ở dạng $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp $\cos (\frac{1}{θ})$ và $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Viết lại $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$