Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Bước 5

Giả sử $u = 6 x + 3$ . Sau đó $d u = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 6 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$6 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $6$ và $0$ .

$6$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Bước 6

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Bước 9

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Bước 10

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 12.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Bước 12.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Bước 12.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Bước 12.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 12.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Bước 12.2.3.2.4

Chia $- 2 x^{2}$ cho $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$