Giải tích Ví dụ

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Bước 1

Viết ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Bước 4

Giả sử $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int u^{7} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Bước 8.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Bước 8.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$