Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9$

Bước 2.2

Tính $1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Cộng $6$ và $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Nhân $6$ với $7$ .

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.3

Cộng $12$ và $1$ .

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân $42$ với $13$ .

$- 1 (\frac{546}{6})$

Bước 2.2.3.2.2

Chia $546$ cho $6$ .

$- 1 \cdot 91$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $- 1$ với $91$ .

$- 91$

Bước 2.3

Tính $\sum_{k = 1}^{6} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(- 9) (6)$

Bước 2.3.3

Nhân $- 9$ với $6$ .

$- 54$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$- 91 - 54$

Bước 2.5

Trừ $54$ khỏi $- 91$ .

$- 145$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$- 0^{2} - 9$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $0$ lên lũy thừa $2$ .

$- 0 - 9$

Bước 3.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 - 9$

Bước 3.2.3

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$- 9$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- 145 - 9$

Bước 5

Trừ $9$ khỏi $- 145$ .

$- 154$