Giải tích Ví dụ

\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của

k

$k$ bằng

1

$1$ .

\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$

Bước 2

Tính

\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9$

Bước 2.2

Tính

1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}

$1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc

2

$2$ là:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Cộng

6

$6$ và

1

$1$ .

- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Nhân

6

$6$ với

7

$7$ .

- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.2.2

Nhân

2

$2$ với

6

$6$ .

- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3.1.3

Cộng

12

$12$ và

1

$1$ .

- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân

42

$42$ với

13

$13$ .

- 1 (\frac{546}{6})

$- 1 (\frac{546}{6})$

Bước 2.2.3.2.2

Chia

546

$546$ cho

6

$6$ .

- 1 \cdot 91

$- 1 \cdot 91$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân

- 1

$- 1$ với

91

$91$ .

- 91

$- 91$

- 91

$- 91$

- 91

$- 91$

- 91

$- 91$

Bước 2.3

Tính

\sum_{k = 1}^{6} - 9

$\sum_{k = 1}^{6} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

\sum_{k = 1}^{n} c = c n

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức.

(- 9) (6)

$(- 9) (6)$

Bước 2.3.3

Nhân

- 9

$- 9$ với

6

$6$ .

- 54

$- 54$

- 54

$- 54$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

- 91 - 54

$- 91 - 54$

Bước 2.5

Trừ

54

$54$ khỏi

- 91

$- 91$ .

- 145

$- 145$

- 145

$- 145$

Bước 3

Tính

\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9

$\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của

k

$k$ .

- 0^{2} - 9

$- 0^{2} - 9$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng

0

$0$ lên lũy thừa

2

$2$ .

- 0 - 9

$- 0 - 9$

Bước 3.2.2

Nhân

- 1

$- 1$ với

0

$0$ .

0 - 9

$0 - 9$

Bước 3.2.3

Trừ

9

$9$ khỏi

0

$0$ .

- 9

$- 9$

- 9

$- 9$

- 9

$- 9$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

- 145 - 9

$- 145 - 9$

Bước 5

Trừ

9

$9$ khỏi

- 145

$- 145$ .

- 154

$- 154$