Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x^{2} - 8 x + 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ và $g (x) = x^{2} - 8 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.5.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.6.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.6.3

Di chuyển ${(x^{2} - 8 x + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Bước 4.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 8 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.9

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.11

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.12

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8 + 0)$

Bước 4.13

Cộng $2 x - 8$ và $0$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$

Bước 4.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 4.14.2

Nhân $2 x - 8$ với $\frac{1}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 4.14.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 4.14.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 4.14.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x - 4)}{5 {(x^{2} - 8 x + 1)}^{\frac{4}{5}}}$