Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ dương.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{\tan (t)}{2}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.4

Nhân $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ với $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.5

Nhân $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ với $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Bước 2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Bước 2.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Bước 2.2.9

Viết lại $\tan (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 2.2.10

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 2.2.11

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 2.2.12.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Bước 2.2.13

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Bước 3

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$