Giải tích Ví dụ

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

Bước 1

Chuyển số hạng $- 11$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

Bước 2

Kết hợp $\frac{r}{3}$ và $\ln (\frac{r}{5})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

Bước 3

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

Bước 4

Viết lại $r \ln (\frac{r}{5})$ ở dạng $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Bước 5.1.2

Vì $r$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (\frac{r}{5})$ giảm không giới hạn.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Bước 5.1.3

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $r$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{r}$ tiến dần đến vô cực.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Bước 5.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Bước 5.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = \ln (r)$ và $g (r) = \frac{r}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.4

Nhân $\frac{5}{r}$ với $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{r}{5}$ đối với $r$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.6

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{5}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.9

Nhân $\frac{1}{r}$ với $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Bước 5.3.10

Viết lại $\frac{1}{r}$ ở dạng $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Bước 5.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Bước 5.3.12

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Bước 5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{r}$ và $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Bước 5.6

Triệt tiêu thừa số chung của $r^{2}$ và $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $r$ ra ngoài $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Bước 5.6.2.2

Đưa $r$ ra ngoài $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Bước 5.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Bước 5.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Bước 5.6.2.5

Chia $r$ cho $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Bước 6.1.2

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $0$ cho $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $- 11$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Bước 6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Bước 6.2.3

Nhân $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Bước 6.2.3.2

Nhân $0$ với $\frac{11}{3}$ .

$0$