Giải tích Ví dụ

$\cos (x y) = y - 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (y - 1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$y' + 0$

Bước 3.4

Cộng $y'$ và $0$ .

$y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' = 0$

Bước 5.3

Cộng $y \sin (x y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x y' \sin (x y) - y' = y \sin (x y)$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \sin (x y) - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' = y \sin (x y)$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = y \sin (x y)$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1) = y \sin (x y)$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sin (x y) - 1) = y \sin (x y)$ cho $- x \sin (x y) - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sin (x y) - 1) = y \sin (x y)$ cho $- x \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 1)}{- x \sin (x y) - 1} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x \sin (x y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 1)}{- x \sin (x y) - 1} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1}$

Bước 5.5.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (1)}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + 1)}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.1

Viết lại $- (x \sin (x y) + 1)$ ở dạng $- 1 (x \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + 1)}$

Bước 5.5.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 1}$