Giải tích Ví dụ

$x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

Bước 1

Viết $x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Sau đó $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{3}}$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Bước 7

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$