Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}$ ở dạng ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = - x^{2} + 2 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 8

Kết hợp ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ và $- 4$ .

$\frac{- 4}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 11

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} + 2 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 15

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 17

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 18

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 20

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 21

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + 0)$

Bước 22

Cộng $- 2 x + 2$ và $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$ .

$- (- 2 x + 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (- 2 x) - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$(2 x - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(2 x - 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.5

Nhân $2 x - 2$ với $\frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.6.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.6.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 23.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 (x - 1)}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$