Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2})$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$- x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$- 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 x^{- 4} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.6

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.8

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 2 x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + x^{- 2} + 2 x$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Bước 5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$