Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Tính giới hạn của $\arctan (x)$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.4.2

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.2.5.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{0}{0}}$

Bước 3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.6

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.7

Nhân $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ với $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 3.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Bước 3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Bước 3.5

Nhân $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Bước 4.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Bước 4.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Bước 4.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Bước 4.8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $\arctan (x)$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Bước 5.2

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Bước 6.1.2

Nhân $1 + 0^{2}$ với $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Bước 6.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Bước 6.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Bước 6.2

Chia $1$ cho $1$ .

$e^{1}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$e$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e$

Dạng thập phân:

$2.71828182 \dots$