Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 7

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 14

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 14.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 14.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 15

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 17

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 18

Rút gọn.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 19

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 19.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 19.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Bước 20.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Bước 20.1.2

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Bước 20.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Bước 20.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Bước 20.3.2

Viết lại biểu thức.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Bước 20.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (x)}{2}$ vào tử số.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Bước 20.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Bước 20.4.3

Viết lại biểu thức.

$x - \sin (x) + C$

Bước 21

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$