Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ tại $27$ và tại $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Bước 6.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $27$ và tại $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.5

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.6

Nhân $3$ với $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.10

Trừ $3$ khỏi $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $240$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.11.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11.2.4

Chia $60$ cho $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $27$ là $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Bước 6.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Bước 6.3.3

Chia $27$ cho $1$ .

$60 - \ln (27)$

Bước 7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\ln (27)$ ở dạng $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Bước 7.2

Khai triển $\ln (3^{3})$ bằng cách di chuyển $3$ ra bên ngoài lôgarit.

$60 - (3 \ln (3))$

Bước 7.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$60 - 3 \ln (3)$

Dạng thập phân:

$56.70416313 \dots$

Bước 9