Giải tích Ví dụ

$y = 4 arccoth (4 x - 8)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 arccoth (4 x - 8))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 arccoth (4 x - 8)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccoth (x)$ và $g (x) = 4 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x - 8$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccoth (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $arccoth (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 8$ .

$4 (\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8]$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.3.5

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.3.6

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + 0)$

Bước 3.3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \cdot 4$

Bước 3.3.7.2

Kết hợp $\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Bước 3.3.7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.3.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Bước 3.3.7.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$