Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 1.4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Bước 1.4.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.4.4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.6.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Bước 2.6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Bước 2.6.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Bước 2.6.2.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Bước 2.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Bước 2.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Bước 2.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x e^{x}$ và $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.1.2

Trừ $e^{x} x$ khỏi $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.1.3

Cộng $x (x e^{x})$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.2.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Bước 2.8.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Bước 2.8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Bước 2.8.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 4.1.4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Bước 4.1.4.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Bước 4.1.4.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 5.3.2

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 5.3.2.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 5.3.2.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 5.3.2.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 5.3.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 5.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x} (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 6.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Bước 9.1.2

Nhân $e^{1}$ với $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Bước 9.1.3

Rút gọn.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Bước 9.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Bước 9.1.5

Rút gọn.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Bước 9.1.6

Rút gọn.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

Bước 9.1.7

Trừ $2 e$ khỏi $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

Bước 9.1.8

Cộng $- e$ và $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

Bước 9.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{e}{1}$

Bước 9.2.2

Chia $e$ cho $1$ .

$e$

Bước 10

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chia $e^{1}$ cho $1$ .

$f (1) = e$

Bước 11.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $e$ .

$y = e$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13