Giải tích Ví dụ

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 x y - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Bước 2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Bước 3

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Bước 5.1.2

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Bước 5.2

Đưa $x'$ ra ngoài $2 y x' + x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x'$ ra ngoài $2 y x'$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Bước 5.2.2

Nâng $x'$ lên lũy thừa $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Bước 5.2.3

Đưa $x'$ ra ngoài ${x'}^{1}$ .

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Bước 5.2.4

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (2 y) + x' \cdot 1$ .

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ cho $2 y + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ cho $2 y + 1$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (y)$ .

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- y)$ .

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Viết lại $- (x - y)$ ở dạng $- 1 (x - y)$ .

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Bước 5.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$