Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} + x}{x + 1} d x$

Bước 1

Chia $x^{3} + x$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Bước 1.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Bước 1.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Bước 1.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Bước 1.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Bước 1.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Bước 1.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Bước 1.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Bước 1.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							+	$2 x$	+	$2$

Bước 1.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	-	$2$

Bước 1.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	-	$2$
									-	$2$

Bước 1.16

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int x^{2} - x + 2 - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 11

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 11.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2 \ln (| u |) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$