Giải tích Ví dụ

$y = - 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{5} x^{- 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{5} x^{- 4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 4 x - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 4 x - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 4 x + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3.5

Kết hợp $\frac{- 3}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 4 x + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{5} x^{- 4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5})$

Bước 1.4.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{5}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{5} x^{- 5}$

Bước 1.4.4

Kết hợp $\frac{- 4}{5}$ và $x^{- 5}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4 x^{- 5}}{5}$

Bước 1.4.5

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{5 x^{5}}$

Bước 1.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{5 x^{5}}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{4}{5 x^{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{4}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- \frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3 x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{- 6}{2}$ và $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.7.2.4

Chia $- 3 x$ cho $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 3 x - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \frac{4}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 2.4.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 2.4.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Bước 2.4.8

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$- 3 x - 4 + 5 (\frac{4}{5}) x^{- 6}$

Bước 2.4.9

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{5}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Bước 2.4.10

Nhân $5$ với $4$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20}{5} x^{- 6}$

Bước 2.4.11

Kết hợp $\frac{20}{5}$ và $x^{- 6}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20 x^{- 6}}{5}$

Bước 2.4.12

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{6}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 (x^{6})}$

Bước 2.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 3 x - 4 + \frac{4}{x^{6}}$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - 3 x + \frac{4}{x^{6}} - 4$