Giải tích Ví dụ

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Chia $7 x^{4} + 5$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Bước 4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $7 x^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Bước 4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Bước 4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Bước 4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Bước 4.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Bước 4.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 7 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Bước 4.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Bước 4.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 7 x^{2} + 0 - 7$

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Bước 4.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

Bước 4.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Bước 10

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 11.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$