Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , nên $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{6 x^{4}} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{6 x^{4}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 6 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{4}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.5

Nhân $4$ với $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.6

Nhân $24$ với $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Cộng $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ và $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Bước 1.1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ và $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{48}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{48}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{48}$ với $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $48$ với $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $336$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$